每日一题[1313]相切曲线

设椭圆 $\dfrac{x^2}{t+1}+\dfrac{y^2}{t-1}=1$ 与双曲线 $xy=1$ 相切,则 $t$ 的值为_______.

答案    $\sqrt 5$.

解析    双曲线 $xy=1$ 在 $x=m$ 处的切线为\[y=-\dfrac 1{m^2}(x-m)+\dfrac 1m,\]即\[x+m^2y-2m=0,\]椭圆与之相切于 $\left(m,\dfrac 1m\right)$,于是\[\begin{cases} (t+1)+(t-1)m^4-4m^2=0,\\ \dfrac{m^2}{t+1}+\dfrac{1}{(t-1)m^2}=1,\end{cases}\]因此\[4m^2=(t+1)(t-1)m^2,\]解得\[t=\sqrt 5.\]

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