每日一题[1864]解方程

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}-4$，$g(x)=a-\dfrac{4ax}{{\rm e}^x}$，若方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上有两个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（        ）

A．$[0,{\rm e})$

B．$(0,{\rm e}]\cup\{4\}$

C．$({\rm e},+\infty)$

D．$(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$

答案    D．

解析    根据题意，方程 $f(x)=g(x)$ 即\[\dfrac{{\rm e}^x}x-4=a\left(1-\dfrac{4x}{{\rm e}^x}\right)\iff \dfrac{{\rm e}^x}x=4\lor \dfrac{{\rm e}^x}x=a,\]其中 $t=\dfrac{{\rm e}^x}x$．利用导数不难得到 $y=\dfrac{{\rm e}^x}x$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值 ${\rm e}$，且当 $x\to 0$ 和 $x\to +\infty$ 时，$\dfrac{{\rm e}^x}{x}\to +\infty$．因此 $\dfrac{{\rm e}^x}x=4$ 对应两个 $x$ 的值，因此或者 $a=4$，或者 $\dfrac{{\rm e}^x}x=a$ 没有解，从而 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$．