每日一题[1864]解方程

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}-4$,$g(x)=a-\dfrac{4ax}{{\rm e}^x}$,若方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上有两个实数解,则实数 $a$ 的取值范围是(        )

A.$[0,{\rm e})$

B.$(0,{\rm e}]\cup\{4\}$

C.$({\rm e},+\infty)$

D.$(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$

答案    D.

解析    根据题意,方程 $f(x)=g(x)$ 即\[\dfrac{{\rm e}^x}x-4=a\left(1-\dfrac{4x}{{\rm e}^x}\right)\iff \dfrac{{\rm e}^x}x=4\lor \dfrac{{\rm e}^x}x=a,\]其中 $t=\dfrac{{\rm e}^x}x$.利用导数不难得到 $y=\dfrac{{\rm e}^x}x$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增,在 $x=1$ 处取得极小值,也为最小值 ${\rm e}$,且当 $x\to 0$ 和 $x\to +\infty$ 时,$\dfrac{{\rm e}^x}{x}\to +\infty$.因此 $\dfrac{{\rm e}^x}x=4$ 对应两个 $x$ 的值,因此或者 $a=4$,或者 $\dfrac{{\rm e}^x}x=a$ 没有解,从而 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$.

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每日一题[1864]解方程》有2条回应

  1. sqrt sqrt说:

    怎么没看懂解答的逻辑呢

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