每日一题[1863]累次求极值

已知函数 $f(x)=\dfrac a2x^2-x(\ln x-b-1)$($a,b\in\mathbb R$).

1、当 $b=-1$ 时,讨论函数 $f(x)$ 的零点个数.

2、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,求 $2a+b$ 的最小值.

解析

1、此时 $f(x)=x^2\left(\dfrac a2-\dfrac{\ln x}{x}\right)$,于是当 $a\leqslant 0$ 或 $a=\dfrac{2}{\rm e}$ 时,函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$;当 $0<a<\dfrac{2}{\rm e}$ 时,函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$;当 $a>\dfrac{2}{\rm e}$ 时,函数 $f(x)$ 的零点个数为 $0$.

2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=ax-\ln x+b,\]根据题意,有\[\forall x>0,ax-\ln x+b\geqslant 0,\]显然 $a>0$,否则\[ax-\ln x+b\leqslant -\ln x+b,\]当 $x>{\rm e}^b$ 时,不符合题意,进而\[\forall x>0,2a+b\geqslant 2a+\ln x-ax,\]而利用导数可得 $2a+\ln x-ax$ 的最小值在 $x=\dfrac 1a$ 处取得,为 $2a-\ln a-1$,因此有\[2a+b\geqslant 2a-\ln a-1\geqslant \ln 2,\]等号当 $a=\dfrac 12$,$b=\ln x-ax=\ln 2-1$ 时取得,因此 $2a+b$ 的最小值为 $\ln 2$.

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