已知数列 $a_n=\tan (11n)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$a_1<a_3<a_5<\cdots<a_{709}$．
2、求证：数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列．
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每日一题[1875]轮番差分
已知 $a,b,c,d,e$ 都是正实数，$f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=dx+e$，对于任意整数 $n$，$\dfrac{f(n)}{g(n)}$ 都是整数，求证：$g(x)$ 整除 $f(x)$．
每日一题[1874]考虑极端
若函数 $f(x)=(x+a)\big(|x+1-a|+|x-3|\big)-2x+4a$ 的图象有对称中心，则实数 $a=$ _______．
每日一题[1873]抛物线灭门人
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $x^2=2y$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点．
1、求 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值．
2、若点 $P$ 在线段 $MN$（不含端点）上运动，$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，求四边形 $OMQN$ 的面积的最小值．
每日一题[1872]设计的巧合
已知 $x,y>0$，则 $\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 的最大值是______．
每日一题[1871]晶格数量积
如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 $1$，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 $A,B,C,D$ 四点均位于图中的“晶格点”处，且 $A,B$ 的位置如图所示，则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最大值为_______．
每日一题[1870]对称换元
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的模分别为 $2,\sqrt 3,1$，且 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=5$，则 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的夹角的余弦的最小值等于_______．
每日一题[1869]寻找几何意义之二
已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$，求证：$\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$．
每日一题[1868]寻找几何意义之一
设 $\varphi(a,b)=\sqrt{(a-b)^2+\left(\ln a-\dfrac{b^2}4\right)^2}+\dfrac {b^2}4$，则 $\varphi(a,b)$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2-1$
B．$2-\sqrt 2$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$1$
每日一题[1867]先猜后证
已知 $a>0$，$b>0$，$m>0$，不等式 $\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b^2}}+m\sqrt{\dfrac b{a+b}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为_______．