每日一题[1859]第一定义两吃

点 $P$ 在双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 的右支上,双曲线的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,且 $|PF_2|=2$,$\triangle PF_1F_2$ 的内心为 $I$,$O$ 为坐标原点,过 $F_1$ 作 $PI$ 的垂线,垂足为 $M$,则 $|OI|\cdot |OM|$ 的值为_______.

答案    $\dfrac{2\sqrt{10}}5$.

解析    设 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆与 $PF_1,F_1F_2,F_2P$ 分别切于 $A,B,C$,且\[|PF_1|-|PF_2|=2\implies |AF_1|-|CF_2|=2\implies |BF_1|-|BF_2|=2\implies OB=1,\]设 $I(1,r)$,则\[\begin{cases} |PA|=|PC|=1,\\ |F_1A|=|F_1B|=3,\\ |F_2B|=|F_2C|=1,\end{cases}\implies r=\dfrac{\sqrt{5(5-4)(5-4)(5-2)}}{5}=\dfrac{\sqrt{15}}5,\]因此\[|OI|=\sqrt{1+r^2}=\dfrac{2\sqrt {10}}{5},\]而作 $F_1$ 关于 $PI$ 的对称点 $F'$,则 $|OM|=\dfrac 12|F_2F_1'|=1$,因此所求值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$.

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每日一题[1859]第一定义两吃》有3条回应

  1. sqrt sqrt说:

    兰琦老师,请问f(x)=5sin2x- 5cosx- 2sinx的最值

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