每日一题[1865]切点弦方程

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $C:(x-2)^2+(y-2)^2=20$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点($A$ 点在 $B$ 点的左侧),圆 $C$ 的弦 $MN$ 过点 $T(3,4)$,分别过 $M,N$ 作圆 $C$ 的切线,交点为 $P$,则线段 $AP$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac{28\sqrt 5}5$.

解析    根据题意,有 $A(-2,0)$,设点 $P(x_0,y_0)$,则直线\[MN:(x_0-2)(x-2)+(y_0-2)(y-2)=20,\]点 $T(3,4)$ 在直线 $MN$ 上,因此点$P$的轨迹方程为\[(3-2)(x-2)+(4-2)(y-2)=20\iff x+2y-26=0,\]因此 $AP$ 的最小值为 $\dfrac{28}{\sqrt 5}$.

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