Math173

过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点作直线 $l$，交抛物线于 $P,Q$ 两点，以线段 $PQ$ 为直径的圆 $M$ 交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点，交 $y$ 轴于 $C,D$ 两点，则 $\dfrac{AB^2}{CD^2}$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac{11}4$

B．$\dfrac52$

C．$\dfrac{2\sqrt{13}-1}4$

D．$\dfrac{\sqrt{13}-1}2$

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求证：${\rm e}^x-\dfrac{x^2-1}{\ln x}>0$．

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已知直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $A,B$ 两点，若直线 $l$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$，与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$，且 $A,C,D,B$ 顺次排列，有 $|AC|=|CD|=2|DB|$，则直线 $l$ 的斜率为_______．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{m\ln x}{x+1}-\ln x+\ln (x+1)$，且对任意 $x> 0$，均有 $f(x)\geqslant 0$，则 $m$ 的取值范围是_______．

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$\triangle ABC$ 中，$\dfrac 2a+\dfrac 1b=1$，$\cos(A-B)=\dfrac{2\sin A\sin B}{\sin C}$，则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______．

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已知 $O$ 为坐标原点，圆 $M:x^2+(y-1)^2=1$，圆 $N:x^2+(y+3)^2=9$，$A,B$ 分别为圆 $M$ 和圆 $N$ 上的动点，则 $\triangle OAB$ 的面积的最大值是_______．

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如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AD<CD$，现将 $\triangle ACD$ 沿 $AC$ 折起至 $\triangle ACD_1$，使二面角 $A-CD_1-B$ 为锐角，设直线 $AD_1$ 与直线 $BC$ 所成角大小为 $\alpha$，直线 $BD_1$ 与平面 $ABC$ 所成角大小为 $\beta$，二面角 $A-CD_1-B$ 的大小为 $\gamma$，则 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系是（       ）

A．$\alpha>\beta>\gamma$

B．$\alpha>\gamma>\beta$

C．$\gamma>\alpha>\beta$

D．不能确定

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已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+xy+y^2=6$，求 $x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y$ 的取值范围．

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一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 $y^2-x^2=1$（$y\in [1,10]$），在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

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设 $f(x)=x^n\cdot \cos x$，$x\in\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 的最大值为 $M$，则（       ）

A．当 $n=-1$ 时，$M<\sqrt 3$

B．当 $n=1$ 时，$M>\dfrac{\sqrt 3}2$

C．当 $n=2$ 时，$M<\dfrac{\sqrt 3}3$

D．当 $n=3$ 时，$M<\dfrac 12$

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