Math173

甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______．

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函数 $ y=-\sqrt{3} x+\sqrt{4 x^{2}+25} $ 的最小值为_______．

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设 $S(x)$ 表示自然数 $x$ 的数字和，则方程 $x+S(x)+S(S(x))=2013$ 的解集是_______．

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给定数列 $\{x_n\}$，$x_1=1$，且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$（       ）

A．$0$

B．$-1$

C．$2+\sqrt3$

D．$-2+\sqrt3$

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函数 $f(x)=\sin 2x+\sin 3x$ 的最小正周期是_______．

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求方程 $2^x\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z,w)$．

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凸 $n$ 边形及 $n-3$ 条在 $n$ 边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图．求证：当且仅当 $3\mid n$ 时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈（即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点）．

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设 $X$ 是一个有限集合，法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 $f(E)$，满足条件：

① 存在一个偶子集 $D$，使得 $f(D)>1990$；

② 对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$，有 $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$．

求证：存在 $X$ 的子集 $P,Q$，满足

① $P\cap Q=\varnothing$，$P\cup Q=X$；

② 对 $P$ 的任何非空偶子集 $S$，有 $f(S)>1990$；

③ 对 $Q$ 的任何偶子集 $T$，有 $f(T)\leqslant 1990$．

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给定集合 $S=\{z_1,z_2,\cdots,z_{1993}\}$，其中 $z_1,z_2,\cdots,z_{1993}$ 是非零复数（可看作平面上的非零向量）．求证：可以把 $S$ 中的元素分成若干组，使得

① $S$ 中每个元素属于且仅属于其中一组；

② 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；

③ 将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．

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给定实数 $a$ 和正整数 $n$．

1、求证：存在唯一的实数数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足：

① $x_0=x_{n+1}=0$；

② $\dfrac 1 2(x_{i+1}+x_{i-1})=x_i+x_i^3-a^3$（$i=1,2,\cdots,n$）．

2、求证：$(1)$ 中的数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足 $|x_i|\leqslant |a|$．

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