每日一题[1857]抛物线克星之二

已知直线 $l:x=my+c$($c>0$)与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A,B$ 两点,$P$ 点为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点,且 $\triangle PAB$ 的面积为 $4c+4$,当 $2m+c$ 取到最大值时,直线 $l$ 的方程为_______.

答案    $x=y+3$

解析    设 $A(4a^2,4a)$,$B(4b^2,4b)$,则根据抛物线的平均性质,有 $ab=-\dfrac c4$.而 $P(-1,0)$,因此 $\triangle PAB$ 的面积\[\dfrac 12|(4a^2+1)\cdot 4b-4a\cdot (4b^2+1)|=4c+4\iff |(4ab-2)(a-b)|=2c+2\iff |a-b|=2,\]而\[2m+c=2(a+b)+c=2\sqrt{(a-b)^2+4ab}+c=2\sqrt{4-c}+c,\]令 $\sqrt{4-c}=t$,则\[2m+c=2t+4-t^2,\]于是当 $t=1$,即 $c=3$,$m=1$ 时,$2m+c$ 取得最大值,此时直线 $l$ 的方程为 $x=y+3$.

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