每日一题[1862]小心细致

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{{\rm e}x}{{\rm e}^x},&x\leqslant 2,\\ \dfrac{4x-8}{5x},&x>2,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-3a|f(x)|+2a^2=0$ 恰有 $5$ 个实数解,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac{2}{\rm e},\dfrac 45\right)$.

解析    如图,作出 $y=|f(x)|$ 的图象,题中方程即\[\left(|f(x)|-a\right)\left(|f(x)-2a\right)=0,\]考虑直线 $y=a$ 和 $y=2a$ 与函数图象的公共点个数之和.

如图,作出 $y=|f(x)|$ 的图象,题中方程即\[\left(|f(x)|-a\right)\left(|f(x)-2a\right)=0,\]考虑直线 $y=a$ 和 $y=2a$ 与函数图象的公共点个数之和.

讨论分界点有 $0,\dfrac{1}{\rm e},\dfrac 25,\dfrac 12,\dfrac{2}{\rm e},\dfrac 45,1$,如下讨论\[\begin{array}{c|ccccccccccccc}\hline a&\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)&\dfrac{1}{\rm e}&\left(\dfrac{1}{\rm e},\dfrac 25\right)&\dfrac 25&\left(\dfrac 25,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,\dfrac{2}{\rm e}\right)&\dfrac{2}{\rm e}&\left(\dfrac{2}{\rm e},\dfrac 45\right)&\dfrac 45&\left(\dfrac 45,1\right)&1&(1,+\infty)\\ \hline \text{个数}&3&3&3&3&3&3&3&4&4&3&3&2&1 \\ \hline 2a&\left(0,\dfrac{2}{\rm e}\right)&\dfrac{2}{\rm e}&\left(\dfrac{2}{\rm e},\dfrac 45\right)&\dfrac 45&\left(\dfrac 45,1\right)&1&\left(1,\dfrac{4}{\rm e}\right)&\dfrac{4}{\rm e}&\left(\dfrac{4}{\rm e},\dfrac 85\right)&\dfrac 85&\left(\dfrac 85,2\right)&2&(2,+\infty)\\ \hline \text{个数}&3&4&4&3&3&2&1&1&1&1&1&1&1 \\ \hline \text{总个数}&6&7&7&6&6&5&4&5&5&4&4&3&2\\ \hline \end{array}\] 因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac{2}{\rm e},\dfrac 45\right)$.

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