每日一题[1882]扩大差异

比较 ${\log_3}4$ 与 ${\log_4}6$ 的大小.

答案    ${\log_3}4<{\log_4}6$.

解析    考虑到两个数都略大于 $1$,比较 $\dfrac{1}{{\log_3}4-1}$ 和 $\dfrac{1}{{\log_4}6-1}$,即 ${\log_{\frac 43}}3$ 和 ${\log_{\frac 32}}4$,而\[\begin{cases} \left(\dfrac 43\right)^3<3<\left(\dfrac 43\right)^4,\\ \left(\dfrac 32\right)^3<4<\left(\dfrac 32\right)^4,\end{cases}\]因此这两个数都在 $(3,4)$ 之间.进而尝试缩小刻度,有\[\begin{cases} \left(\dfrac 43\right)^7<3^2<\left(\dfrac 43\right)^8,\\ \left(\dfrac 32\right)^6<4^2<\left(\dfrac 32\right)^7,\end{cases}\]因此 ${\log_{\frac 43}}3\in (3.5,4)$,而 ${\log_{\frac 32}}4\in (3,3.5)$,从而\[{\log_{\frac 32}}4<{\log_{\frac 43}}3\implies {\log_3}4<{\log_4}6.\]

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每日一题[1882]扩大差异》有3条回应

  1. mrblack说:

    第一步的目的是啥

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