每日一题[1878]累次求极值

已知 $x,y\in\mathbb R$,且 $x+y>0$,则 $\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt{42}}2$.

解析    根据题意,有\[\begin{split}\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}&=y+\dfrac{3+2x^2}{x+y}\\ &=x+y+\dfrac{3+2x^2}{x+y}-x\\ &\geqslant 2\sqrt{3+2x^2}-x\\ &=2\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 32+x^2}-x\\ &\geqslant \sqrt 7\cdot \sqrt{\dfrac 32}\\ &=\dfrac{\sqrt{42}}2,\end{split}\]等号当 $x+y=\sqrt{3+2x^2}$ 且 $2\sqrt 2=\sqrt{\dfrac{32+x^2}{x^2}}$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{42}}2$.


练习    若 $x,y\in\mathbb R$,则 $m=x^2-2xy+3y^2-x+y$ 的最小值是______.

解析    根据题意,有\[\begin{split} m&=3y^2+(1-2x)y+x^2-x\\ &\geqslant \dfrac{12(x^2-x)-(1-2x)^2}{12}\\ &=\dfrac{8x^2-8x-1}{12}\\ &\geqslant -\dfrac 14,\end{split}\]等号当 $x=\dfrac 12$,$y=0$ 时取得,因此所求最小值为 $-\dfrac 14$.

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每日一题[1878]累次求极值》有7条回应

  1. Math_fish说:

    想问一下累次求最值中的累次是什么意思?

  2. mrblack说:

    第一个问题的32应该写成3/2吧,是不是写错了?

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