每日一题[1877]暴力计算

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt 2+1$,$AC=2\sqrt 3$,且 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$,则 $\tan A=$ _______.

答案    $-\sqrt 2-1$.

解析    设 $B$ 在 $AC$ 上的投影为 $H$,且 $\overline{AH}=m$,$\overline{HC}=n$,$HB=h$,则\[\begin{cases} m+n=2\sqrt 3,\\ (m+n)h=2(\sqrt 2+1),\\ \tan A=\dfrac hm,\\ \tan B=\dfrac{\dfrac mh+\dfrac nh}{1-\dfrac{mn}{h^2}}=\dfrac{(m+n)h}{h^2-mn},\end{cases}\]于是由 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$ 可得\[\dfrac{4m}{h}+\dfrac{3(h^2-mn)}{(m+n)h}=1\iff 4m(m+n)+3h^2-3mn=(m+n)h,\]也即\[8\sqrt 3m+3\cdot \left(\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 3}\right)^2-3m\left(2\sqrt 3-m\right)=2\left(\sqrt 2+1\right),\]解得 $m=-\dfrac{1}{\sqrt 3}$,$n=\dfrac{7}{\sqrt 3}$,$h=\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 3}$,因此\[\tan A=\dfrac hm=-\sqrt 2-1.\]

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