每日一题[1883]迭代函数法

已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=2$,$x_{n+1}=\sqrt{2x_n-1}$($n\in\mathbb N^{\ast}$.给出下列两个命题: 命题 $p$:对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$,都有 $1<x_{n+1}<x_n$; 命题 $q$:存在 $r\in(0,1)$,使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$,都有 $x_n\leqslant r^{n-1}+1$. 则(       )

A.$p$ 真,$q$ 真

B.$p$ 真,$q$ 假

C.$p$ 假,$q$ 真

D.$p$ 假,$q$ 假

答案    B.

解析    设迭代函数 $f(x)=\sqrt{2x-1}$,则不动点为 $x=1$,且 $f(x)$ 单调递增,于是由 $1<x_2<x_1$ 可得 $f(1)<f(x_2)<f(x_1)$ 即 $1<x_3<x_2$,依次类推,可得命题 $p$ 成立; 对于命题 $q$,利用不动点改造递推公式,有\[x_{n+1}-1=\sqrt{2x_n-1}-1\iff x_{n+1}-1=\dfrac{2(x_n-1)}{\sqrt{2x_n-1}+1},\]于是\[\dfrac{x_{n+1}-1}{x_n-1}=\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1},\]而 $x_n\in (1,2]$,因此 $\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}\in \left[\sqrt 3-1,1\right)$,且当 $n\to+\infty$ 时,$\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}\to 1$.不妨设当 $n\geqslant N$ 时,对给定的 $\varepsilon>0$,有\[\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}>1-\varepsilon,\]那么可知当 $n= N+m$ 时,有\[x_n-1\geqslant (1-\varepsilon)^m(x_N-1),\]取 $\varepsilon =\dfrac{1-r}2$,则 $1-\varepsilon =\dfrac{1+r}2>r$,因此\[x_n-1=\left(\dfrac{1+r}2\right)^m(x_N-1),\]而根据命题 $q$,有 $x_n-1\leqslant r^{N+m}$,取\[m=\left[{\log_{\frac{1+r}{2r}}}\dfrac{r^N}{x_N-1}\right]+1,\]则有\[\left(\dfrac{1+r}2\right)^m(x_N-1)>r^{N+m},\]矛盾,因此命题 $q$ 错误.

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