每日一题[1885]构造函数

设函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$($a,b,c,d\in \mathbb{R} $ 且 $ a\ne 0$),若 $0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1$,则 $f(1)+f(5)$ 的取值范围是(       )

A.$\left(0,1\right)$

B.$\left(1,2\right)$

C.$\left(2,3\right)$

D.$\left(3,4\right)$

答案    A.

解析    设 $2f(2)=m$,则 $x=2,3,4$ 是方程 $xf(x)-m=0$ 的三个根,于是\[xf(x)-m=a(x-2)(x-3)(x-4)\left(x+\dfrac{m}{24a}\right),\]因此\[f(x)=\dfrac{a(x-2)(x-3)(x-4)\left(x+\dfrac{m}{24a}\right)+m}x,\]因此\[f(1)+f(5)=\dfrac{-24a+3m}{4}+\dfrac{24a+m}4=m,\]其取值范围是 $(0,1)$.

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