已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个顶点 $A(a,0)$，$B(0,b)$，过 $A,B$ 分别作 $AB$ 的垂线交椭圆 $T$ 于 $D,C$（不同于顶点），若 $BC=3AD$，则椭圆的离心率是_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O:x^2+y^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l:x+y-5=0$．若对圆 $O$ 上任意一点 $P$，在直线 $l$ 上均存在两点 $E,F$，使得 $PE=\sqrt 2PF$，且 $EF=8$，则 $r$ 的取值范围是_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(4,0)$，点 $B(0,3)$，$P$ 为圆 $x^2+y^2=4$ 上一动点，则 $3AP+2BP$ 的最小值是_______．
已知 $A\left(1,\dfrac 32\right)$，$B\left(-1,-\dfrac 32\right)$ 在椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$ 上，$P$ 为直线 $y=-\dfrac x2$ 上的动点，$AP,BP$ 分别于椭圆 $E$ 交于 $C,D$ 两点，求证：直线 $CD$ 的斜率为定值．
已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $C(0,1)$，以 $C$ 为圆心，以 $\dfrac{4\sqrt 3}3$ 为半径的圆 $C$ 与椭圆 $\Gamma$ 恰好相切．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程．
2、设点 $P$ 是圆 $C$ 上一点，过 $P$ 作椭圆 $\Gamma$ 的两条切线，与椭圆 $\Gamma$ 切于 $A,B$ 两点．当 $PA\perp PB$ 时，求点 $P$ 的坐标．
设函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a,b,c,d\in \mathbb{R} $ 且 $ a\ne 0$），若 $0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1$，则 $f(1)+f(5)$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,1\right)$
B．$\left(1,2\right)$
C．$\left(2,3\right)$
D．$\left(3,4\right)$
已知抛物线 $E:x^2=2py$（$0<p<2$）的焦点为 $F$，圆 $C:x^2+(y-1)^2=1$．点 $P(x_0,y_0)$ 为抛物线上一动点．当 $|PF|=\dfrac{5p}2$ 时，$\triangle PCF$ 的面积为 $\dfrac 12$．
1、求抛物线 $E$ 的方程．
2、若 $y_0>\dfrac 12$，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线分别交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点．求 $\triangle PMN$ 的面积的最小值．
已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=2$，$x_{n+1}=\sqrt{2x_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$．给出下列两个命题： 命题 $p$：对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $1<x_{n+1}<x_n$； 命题 $q$：存在 $r\in(0,1)$，使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $x_n\leqslant r^{n-1}+1$． 则（ ）
A．$p$ 真，$q$ 真
B．$p$ 真，$q$ 假
C．$p$ 假，$q$ 真
D．$p$ 假，$q$ 假
