若 $|5x+6y|+|9x+11y|\leqslant 1$，则点 $(x,y)$ 对应的点集图形的面积 $S=$ _______．
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每日一题[2065]缺斤短两
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[\pi]=3$，$[-\pi]=-4$ 等，则\[\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]\]的值是_______．
每日一题[2064]小心配平
已知 $\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol b\right|=2$，求 $\left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|$ 的最大值．
每日一题[2062]染色方程
有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$（$m \leqslant n \leqslant r$）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得 $1985$．求 $m, n, r$ 的值．
每日一题[2061]穿肉串
$[x]$ 表示取数 $x$ 的整数部分，例如 $\left[\dfrac{15}{4}\right]=3$ 等，若\[y=4\left(\frac{x+[u]}{4}-\left[\frac{x+[u]}{4}\right]\right),\]且\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&1,8,11,14& 2,5,12,15&3,6,9,16& 4,7,10,13\\ \hline y&1&2&3&0 \\ \hline\end{array}\] 则表达式中 $u$ 等于_______．
每日一题[2060]隐藏的切线
如图，已知曲线 $C_{1}: \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$b>0$），$C_{2}: x^{2}+y^{2}=4+b^{2}$，两曲线交于点 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$．在两曲线上分别取 $|x|>\left|x_{A}\right|$ 构成曲线 $\Gamma$．
1、若 $x_{A}=\sqrt{6}$，求 $b$．
2、若 $b=\sqrt{5}$，圆与 $x$ 轴交点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $P$ 在双曲线第一象限部分，且 $\left|P F_{1}\right|=8$，求 $\angle F_{1} P F_{2}$．
3、过点 $S\left(0, \dfrac{b^{2}}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\dfrac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $M,N$ 两点，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}$ 并求其取值范围．
每日一题[2059]公共点集
已知平面向量 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}, \dots \overrightarrow{b_{k}}$（$k \in \mathbb{N}^{*}$）是平面内两两互不相等的向量，$\left|\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a_{2}}\right|=1$，且对任意的 $i=1,2$ 及 $j=1,2, \dots, k$，$\left|\overrightarrow{a}_{i}-\overrightarrow{b_{j}}\right| \in\{1,2\}$，则 $k$ 最大值为_______．
每日一题[2058]在劫难逃
设 $a \in \mathbb{R}$，若存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x_{0} \in \mathbb{R}$，$f\left(x_{0}\right)$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$；
② 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解，
则 $a$ 取值范围是_______．
每日一题[2057]基本放缩
已知 $1 < a \leqslant 2$，函数 $f(x) = {\mathrm e}^{x} - x - a $．其中 ${\rm e} \approx 2.718281828459 \cdots$ 是自然底数．
1、证明：$f(x)$ 在 $x>0$ 时，有唯一零点．
2、若 $x_0$ 为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点．
① 求证：$\sqrt{a-1} \leqslant x_{0} \leqslant \sqrt{2(a-1)}$；
② 求证：$x_0 f\left({\rm e}^{x_0}\right) \geqslant ({\rm e} - 1)(a - 1)a$．