每日一题[1888]阿波罗尼斯圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知点 $A(4,0)$,点 $B(0,3)$,$P$ 为圆 $x^2+y^2=4$ 上一动点,则 $3AP+2BP$ 的最小值是_______.

答案    $4\sqrt{10}$.

解析    考虑到 $3AP+2BP=3\left(AP+\dfrac 23BP\right)$,根据阿波罗尼斯圆的定义,设 $C(0,m)$,圆 $x^2+y^2=4$ 是到点 $B$ 和到点 $C$ 的比为 $\dfrac 32$ 的点的轨迹,则 $\dfrac 23PB=PC$.

此时\[\dfrac{OB}{2}=\dfrac{2}{OC}=\dfrac 32\implies OC=\dfrac43,\]因此\[3\left(AP+\dfrac 23BP\right)=3\left(PA+PC\right)\geqslant 3AC=3\cdot \dfrac{4\sqrt{10}}3=4\sqrt{10},\]等号当 $A,P,C$ 依次共线时取得,因此所求最小值为 $4\sqrt{10}$.

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