每日一题[1891]伸缩变换

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的两个顶点 $A(a,0)$,$B(0,b)$,过 $A,B$ 分别作 $AB$ 的垂线交椭圆 $T$ 于 $D,C$(不同于顶点),若 $BC=3AD$,则椭圆的离心率是_______.

答案    $\dfrac{2\sqrt 2}3$.

解析    利用伸缩变换 $x'=x$,$y'=\dfrac aby$,则椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=a^2$,此时 $B'C'\parallel A'D'$ 且 $B'C'=3A'D'$,设直线 $B'C'$ 的斜率为 $k$,那么\[\begin{cases} B'C':kx-y+a=0,\\ A'D':kx-y-ka=0,\end{cases}\implies \sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{k^2+1}}=3\sqrt{a^2-\dfrac{k^2a^2}{k^2+1}}\iff k^2=9,\]回到椭圆中,可得\[\left(k\cdot \dfrac ba\right)\cdot \left(-\dfrac ba\right)=-1\iff \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{k^2}=\dfrac 19,\]因此所求离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{2\sqrt 2}3$.

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