每日一题[1889]匹克公式

三边长均为正整数,且最大边长为 $11$ 的三角形的个数为(       )

A.$25$

B.$26$

C.$36$

D.$37$

答案    C.

解法一

先考虑区域 $\begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 11,\\ 1\leqslant y\leqslant 11, \\ x+y\geqslant 12\end{cases}$ 的整点个数,考虑到当 $x$ 取 $k$ 时,$y$ 可以从 $12-k$ 取到 $11$,共 $k$ 个数,因此所求整点个数为 $\displaystyle\sum_{k=1}^{11}k=66$.但考虑到 $(m,n)$ 和 $(n,m)$($m\ne n$)对应的是相同的三角形,而形如 $(m,m)$ 的解有 $(6,6),(7,7),\cdots,(11,11)$ 共 $6$ 个,因此所求三角形个数为\[\dfrac{66-6}2+6=36.\]

解法二

即区域 $\begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 11,\\ x\leqslant y\geqslant 12, \\ x+y\geqslant 11\end{cases}$ 的整点个数,即格点三角形 $ABCD$ 内以及边界上的格点数,其中 $A(1,11)$,$B(6,6)$,$C(11,11)$,$AB,BC,CA$ 内部格点分别为 $4,4,9$,$\triangle ABC$ 的面积为 $25$,因此根据皮克公式,所求三角形个数为\[25+\dfrac{4+4+9+3}2+1=36.\]

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