若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 $y=x^3+ax$ 上，则实数 $a$ 的值为_______．
已知 $a=\left(\dfrac 12\right)^b={\log_{0.3}}0.2$，则（ ）
A．$2.5<2a-b<3$
B．$3<2a-b<3.5$
C．$3.5<2a-b<4$
D．以上答案都不对
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=4$，$\ln a_{n+1}=\dfrac 1na_n^2-a_n+3$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$a_n\geqslant 4n$．
2、求证：$\dfrac 16\leqslant \dfrac{1}{2+a_1}+\dfrac{1}{2+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{2+a_n}\leqslant \dfrac 14$．
已知函数 $f(x)=|x^2-4x|$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m|x+1|-2$ 恰有 $4$ 个互异的实根，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
已知函数 $f(x)$ 为反比例函数，曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$．
1、求 $g(x)$ 的解析式．
2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数，并证明．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=8a_n-7$，且 $\{a_n\}$ 中有且只有一个素数，写出 $a_1$ 的两个可能取值．
已知函数 $f(x)=\ln x+(1-a)x+a$（$a>0$），若不等式 $f(x)>0$ 有且只有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
B．$(0,2+\ln 2)$
C．$\left[\dfrac{3+\ln 3}2,2+\ln 2\right)$
D．$\left[\dfrac{2\ln 2+4}3,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
设过点 $P(-2,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 交于不同的两点 $A,B$，$F$ 为椭圆的右焦点，且直线 $AF,BF$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，且 $\lambda =\dfrac{AF}{FC}$，$\mu=\dfrac{BF}{FD}$，求 $\lambda+\mu$ 的取值范围．
设 $a>b>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\dfrac{1}{n+1}\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n\right)$，$B_n=\left(\dfrac{a+b}2\right)^n$．
1、求证：$A_2>B_2$．
2、比较 $A_n,B_n$ 的大小，并证明．
