已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，过椭圆 $C_1$ 上一点 $P$ 作椭圆 $C_1$ 的切线 $l$，$O$ 为坐标原点．
1、当直线 $l$ 与坐标轴不垂直时，设直线 $l$ 的斜率为 $k$，直线 $OP$ 的斜率为 $k_{OP}$，求证：$k\cdot k_{OP}$ 为定值．
2、设直线 $l$ 与椭圆 $C_2:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $M,N$ 两点，求 $|MN|\cdot |OP|$ 的取值范围．
设 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{1}{1+\sin (xy)}+\dfrac{\sin^2x+\sin^2y}{1+xy}$ 的取值范围是（ ）
A．$[1,+\infty)$
B．$(1,+\infty)$
C．$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac 12,+\infty\right)$
已知 $x,y\in\mathbb R$，且 $x+y>0$，则 $\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}$ 的最小值为_______．
已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt 2+1$，$AC=2\sqrt 3$，且 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$，则 $\tan A=$ _______．
已知数列 $a_n=\tan (11n)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$a_1<a_3<a_5<\cdots<a_{709}$．
2、求证：数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列．
已知 $a,b,c,d,e$ 都是正实数，$f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=dx+e$，对于任意整数 $n$，$\dfrac{f(n)}{g(n)}$ 都是整数，求证：$g(x)$ 整除 $f(x)$．
若函数 $f(x)=(x+a)\big(|x+1-a|+|x-3|\big)-2x+4a$ 的图象有对称中心，则实数 $a=$ _______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $x^2=2y$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点．
1、求 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值．
2、若点 $P$ 在线段 $MN$（不含端点）上运动，$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，求四边形 $OMQN$ 的面积的最小值．
已知 $x,y>0$，则 $\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 的最大值是______．
