每日一题[1890]阿波罗尼斯圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $O:x^2+y^2=r^2$($r>0$)与直线 $l:x+y-5=0$.若对圆 $O$ 上任意一点 $P$,在直线 $l$ 上均存在两点 $E,F$,使得 $PE=\sqrt 2PF$,且 $EF=8$,则 $r$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(0,\dfrac{11\sqrt 2}2\right]$.

解析    根据阿波罗尼斯圆的定义,当 $E,F$ 确定时,$P$ 点的轨迹是一个圆,设这个圆的圆心为 $M$,半径为 $r$,则\[\begin{cases} \dfrac{ME}{r}=\dfrac{r}{MF}=\sqrt 2,\\ ME-MF=8,\end{cases}\implies r=8\sqrt 2,\]因此当 $E$ 点在直线 $l$ 上移动时,$P$ 的轨迹是以为 $l$ 为中位线,宽度为 $16\sqrt 2$ 的带状区域.根据题意,圆 $O$ 在带状区域(包括边界),而点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{5\sqrt 2}2$,因此 $0<r\leqslant \dfrac{11\sqrt 2}2$.

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