若 $a,b,c$ 为给定的互不相同的实数，则代数式 $f(x) = \dfrac{a^2(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-a)(b-c)} + \dfrac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ 经化简后得到_______．
设 $A,B,C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0 = \dfrac 1 k$，$a_n = a_{n-1} + \dfrac 1 {n^2}a_{n-1}^2$，其中 $k$ 为正整数．如果对于所有的 $n \in \mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n<1$，求 $k$ 的取值范围．
已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$，证明：$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$．
将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行，使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$，则所有可能的排法数为[[nn]]
A．$720$
B．$1014$
C．$576$
D．$1296$
若函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}+\sqrt{x^2+y^2+2\sqrt 3x+3}+\sqrt{x^2+y^2-2\sqrt 3x+3}$，则 $f(x,y)$ 的最小值是（ ）
A．$3+2\sqrt 3$
B．$2\sqrt 3+2$
C．$6$
D．$8$
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|z^3+3z+2\rm i\right|$ 的最大值为（ ）
A．$4\sqrt 2$
B．$3\sqrt 3$
C．$2\sqrt 5$
D．$4\sqrt 3$
如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，外接圆圆心为 $O$，半径为 $R$，$AO$ 的延长线交 $\triangle BOC$ 的外接圆于点 $A'$，$BO$ 的延长线交 $\triangle AOC$ 的外接圆于点 $B'$，$CO$ 的延长线交 $\triangle AOB$ 的外接圆于点 $C'$，求证：$OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$．
