每日一题[1662]构造图形

若函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}+\sqrt{x^2+y^2+2\sqrt 3x+3}+\sqrt{x^2+y^2-2\sqrt 3x+3}$,则 $f(x,y)$ 的最小值是(       )

A.$3+2\sqrt 3$

B.$2\sqrt 3+2$

C.$6$

D.$8$

答案    C.

解析    令 $A(0,3), B(-\sqrt 3,0), C(\sqrt 3, 0), P(x,y)$,则\[f(x,y)=|PA|+|PB|+|PC|,\] 注意到 $\angle ABO = \angle BAC = \angle ACO = 60^\circ$,所以点 $D(0,1)$ 是 $\triangle ABC$ 的费马点,所以 $f(x,y)$ 的最小值在 $P$ 为 $D$ 时取到,最小值为\[|DA|+|DB|+|DC|=6.\]

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