每日一题[1667]韦达定理

设 $A,B,C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点,$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径,求 $R$ 的取值范围.

答案    $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$.

解析    设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$,与抛物线 $y=x^2$ 联立可得\[(x-a)^2+(x^2-b)^2-R^2=0,\]即\[x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2-R^2=0,\]根据题意,该四次方程有 $3$ 个不相等的实根,因此必然有 $4$ 个实根,设为 $x_1,x_2,x_3,x_4$,则根据韦达定理,有\[\sum x_i=0\implies \sum x_i^2+2\sum_{i\ne j}x_ix_j=0,\]又根据韦达定理,有\[2(2b-1)=-2\sum_{i\ne j}x_ix_j=\sum x_i^2>4\sqrt{|x_1x_2x_3x_4|}=4\sqrt{|a^2+b^2-R^2|},\]且 $2(2b-1)>0$,从而\[4(2b-1)^2> 16(a^2+b^2-R^2)\implies R^2>a^2+b-\dfrac14>\dfrac 14\implies R>\dfrac 12.\]接下来证明 $R$ 可以取遍区间 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的所有值.取 $C(0,0)$,$A(t,t^2)$,$B(-t,t^2)$,则可得 $\triangle ABC$ 的外心 $P\left(0,\dfrac{t^2+1}2\right)$,当 $t$ 取遍全体非零实数时,$R$ 可以取遍区间 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的所有值. 综上所述,$R$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$.

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