每日一题[1659]不分离

已知函数 $f(x)=\dfrac 13x^3-a(x^2+x+1)$.

1、若 $a=3$,求 $f(x)$ 的单调区间.

2、证明:$f(x)$ 只有一个零点.

解析

1、当 $a=3$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x^2-6x-3,\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,3-2\sqrt 3\right)$ 和 $\left(3-2\sqrt 3,+\infty\right)$,单调递减区间是 $\left(3-2\sqrt 3,3+2\sqrt 3\right)$.

2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x^2-2ax-a,\]其判别式 $\Delta=4a(a+1)$.

情形一     $\Delta\leqslant 0$,即 $-1\leqslant a\leqslant 0$.此时 $f'(x)\geqslant 0$,函数 $f(x)$ 是单调递增函数,而\[f(-3)\cdot f(0)=a(7a+9)\leqslant 0,\]因此函数 $f(x)$ 只有一个零点.

情形二     $\Delta>0$,设 $x=m$ 是函数 $f(x)$ 的极值点,则对应极值\[t=f(m)=\dfrac 13m^3-a(m^2+m+1),\]其中 $m^2-2am-a=0$.因此\[t=\dfrac 13m^3-\dfrac{m^2}{2m+1}\cdot (m^2+m+1)=-\dfrac{m^2(m^2+2m+3)}{3(2m+1)}.\] 若 $a>0$,则 $m>-\dfrac 12$.此时函数 $f(x)$ 的两个极值均小于 $0$,而当 $x>9$ 时,有\[f(x)>\dfrac 13\cdot 9x^2-x^2-x-1>2x^2-x-1>0,\]此时函数 $f(x)$ 只有一个零点. 若 $a<-1$,则 $m<-\dfrac 12$.此时函数 $f(x)$ 的两个极值均大于 $0$,而当 $x<-9$ 时,有\[f(x)<\dfrac 13\cdot (-9x^2)+x^2+x+1<-2x^2+x+1<0,\]此函数 $f(x)$ 只有一个零点. 综上所述,函数 $f(x)$ 只有一个零点.

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