每日一题[1665]糖水不等式

已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$,证明:$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$.

解析

根据题意,有 $abc=1$,且 $a,b,c>0$.

左边不等式    即\[\dfrac{1}{a+1}<\dfrac b{b+1}+\dfrac c{c+1}\iff \dfrac{bc}{1+bc}<\dfrac{2bc+b+c}{1+bc+b+c},\]根据糖水不等式,有\[\dfrac{bc}{1+bc}<\dfrac{bc+b+c}{1+bc+b+c}<\dfrac{2bc+b+c}{1+bc+b+c},\]命题得证.

右边不等式    即\[\dfrac{a}{a+1}<\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\iff \dfrac{1}{1+bc}<\dfrac{2+b+c}{1+bc+b+c},\]根据糖水不等式,有\[\dfrac{1}{1+bc}<\dfrac{1+b+c}{1+bc+b+c}<\dfrac{2+b+c}{1+bc+b+c},\]命题得证. 综上所述,原不等式得证.

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