每日一题[1663]物以类聚

将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$,则所有可能的排法数为[[nn]]

A.$720$

B.$1014$

C.$576$

D.$1296$

答案    D.

解析    $8$ 个数可以分为三种类型:$A$ 类为 $2,4,8$;$B$ 类为 $3,9,15$;$C$ 类为 $6,12$,则根据题意,$A$ 类与 $B$ 类不相邻.按除去 $C$ 类数,$A,B$ 两类数的分布讨论.

情形一    $A,B$ 两类数只有 $1$ 个接触点,即 $AAABBB$ 型,此时再按 $A-B$ 由 $1$ 个 $C$ 还是 $2$ 个 $C$ 分隔讨论,可得排法数为\[2\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\cdot (2+2\cdot 6)=1008.\]

情形二    $A,B$ 两类数有 $2$ 个接触点,即 $AABBBA$ 型(及其变形),此时排法数为\[4 \mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\cdot 2=288.\] 综上所述,所求排法总数为 $1296$.

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