每日一题[1661]分解

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$,则 $\left|z^3+3z+2\rm i\right|$ 的最大值为(       )

A.$4\sqrt 2$

B.$3\sqrt 3$

C.$2\sqrt 5$

D.$4\sqrt 3$

答案    B.

解析    由于 $|z^3+3z+2{\rm i}|=|({\rm i}z)^3-3({\rm i}z)+2|$,于是问题转化为已知 $|z|=1$,求 $|z^3-3z+2|$ 的最大值.设 $z=(\theta:1)$,则\[\begin{split} |z^3-3z+2|&=|z-1|^2\cdot |z+2|\\ &=\sqrt{(2-2\cos\theta)(2-2\cos\theta)(5+4\cos\theta)}\\ &\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{2+2+5}3\right)^3}\\ &=3\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $\cos\theta=-\dfrac 12$ 时取得,因此所求最大值为 $3\sqrt 3$.

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