每日一题[1664]独树一帜

与正四面体 $4$ 个顶点距离之比为 $1:1:1: \sqrt 2$ 的平面共有_______个.

答案    $32$.

解析    设 $A,B,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离均为 $1$,$D$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt 2$.若 $A,B,C$ 位于平面 $\alpha$ 的同侧,对应的 $\alpha$ 有 $2$ 个;若 $A,B,C$ 位于平面 $\alpha$ 的两侧,对应的 $\alpha$ 有 $6$ 个.最后考虑对称性,所求的平面有 $4\cdot (2+6)=32$ 个.

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