设集合 $M=\{ t \mid t=m^2-n^2,~m,n\in\mathbb Z\}$．
1、证明：$M$ 中的任意两个元素的乘积也是 $M$ 的元素．
2、判断 $32,33,34$ 是否在集合 $M$ 中，并说明理由．
3、写出偶数 $2k$（$k\in\mathbb Z$）在集合 $M$ 中的一个充要条件，并给出证明．
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每日一题[2098]积分放缩
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $2\sqrt{S_n}=a_n+1$．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、设 $b_n=\dfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：$T_n<\dfrac 12$．
3、若不等式 $\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{1}{a_{n+2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2n}}\leqslant{\log_2}(m-1)-\dfrac23$ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
每日一题[2097]角格点问题
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=AC$，$\angle BAP=20^\circ$，$\angle ABP=10^\circ$，$\angle PAC=60^\circ$，则 $\angle APC=$ _______．
每日一题[2096]极值点偏移
已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x-\ln x$．
1、求函数在 $\left[1,\dfrac{\pi}3\right]$ 上的最大值．
2、证明：$f'(x)$ 有唯一零点．
3、若实数 $x_1,x_2$ 满足 $x_1\ne x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1x_2<4$．
题拍拍征解问题[7]（已解决）
『2785029』设 $x_0$ 是方程 $x^{2019}-x-1=0$ 的正实根，$y_0$ 是方程 $y^{4038}-y-3x_0=0$ 的正实根．
1、试比较 $x_0$ 与 $y_0$ 的大小．
2、试求 $|x_0-y_0|$ 小数点后面的第 $10$ 位数字．
每日一题[2095]双切线
点 $P(x_0,y_0)$（$x_0>0$，$y_0>2)$ 是抛物线 $x^2=2y$ 上的点，过点 $P$ 作圆 $E:x^2+(y-1)^2=1$ 的两条切线分别交 $x$ 轴于 $B,C$ 两点，切点分别为 $M,N$，则 $\triangle PBC$ 的面积的最小值为（ ）
A．$4$
B．$16$
C．$12$
D．$8$
每日一题[2094]补形
在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA=BC=2$，$SC=AB=\sqrt 3$，$SB=AC=\sqrt 5$，$M$ 为 $BC$ 中点，$N$ 为 $SA$ 中点．
1、求异面直线 $AM$ 与 $CN$ 的距离．
2、求 $A-SM-C$ 二面角的余弦值．
题拍拍征解问题[6]（已解决）
『2682538』设 $a,b,c,d>0$，求\[f(a,b,c,d)=\dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3+ab+cd+16}{(a+b)(c+d)}\]的最小值．
题拍拍征解问题[5]（已解决）
『2602355』三边长分别为 $a,b,c$ 的三角形的内切圆半径为 $r$，外接圆半径为 $R$．求证：\[\dfrac{R}r-\dfrac ab-\dfrac ba\geqslant 8\cdot \dfrac{(a-c)^2(b-c)^2}{a^2b^2}.\]