设直线 $x-3y+m=0$（$m\ne 0$）与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a,b > 0$）的两条渐近线分别交于点 $A,B$，若点 $P\left({m,0}\right)$ 满足 $\left|{PA}\right| = \left|{PB}\right|$，则该双曲线的离心率是______．
设 $a, b, c \in \mathbb{R}_{+}$．证明：$a+\sqrt{a b}+\sqrt[3]{a b c} \leqslant \dfrac{4}{3}(a+b+c)$．
$\forall x_1\in\mathbb R$，$\exists x_2\in [3,4]$，$x_1^2+x_1x_2+x_2^2\geqslant 2x_1+mx_2+3$，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
设 $m$ 为正整数，各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 定义如下：$a_1=1$， \[ a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{a_n}{2},&2\mid a_n,\\ a_n+m,&2\nmid a_n. \end{cases} \]
1、若 $m=5$，写出 $a_8,a_9,a_{10}$．
2、求证：“数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增”的充要条件是“$m$ 为偶数”．
3、若 $m$ 为奇数，是否存在 $n>1$ 满足 $a_n=1$？请说明理由．
用 $6$ 种不同颜色给如图所示的 $6$ 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方案的种数是_______．
已知圆 $O:x^2+y^2=4$，直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $P,Q$ 两点，$A(2,2)$，若 $AP^2+AQ^2=40$，则弦 $PQ$ 的长度的最大值为______．
已知 $f(x)=\dfrac{a^x-1}{a^x+1}$（$a>1$），实数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)+f(x_2)=1$，则 $f(x_1+x_2)$ 的最小值为______．
求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{k+1}{k^2(k+2)^2}<\dfrac{5}{16}$．
已知函数 $f(x)=\ln x+a\left(\dfrac 1x-1\right)$，$a\in\mathbb R$． 若 $f(x)\geqslant 0$，
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、求证：${\rm e}^x+\dfrac 1x\geqslant 2-\ln x+x^2+({\rm e}-2)x$．
在 $\triangle QRS$ 中，$\angle QRS$ 平分线交 $QS$ 于 $T$，设 $QT=m$，$TS=n$，$m,n$ 均为正整数且 $n>m$．若 $\triangle QPS$ 的周长 $p$ 为整数，且有 $m^2+2m-1$ 种不同的取值，则 $n-m=$ （ ）
A．$4$
B．$1$
C．$3$
D．$2$
E．$5$
