征解问题(2785029,已解决)

设 $x_0$ 是方程 $x^{2019}-x-1=0$ 的正实根,$y_0$ 是方程 $y^{4038}-y-3x_0=0$ 的正实根.

1、试比较 $x_0$ 与 $y_0$ 的大小.

2、试求 $|x_0-y_0|$ 小数点后面的第 $10$ 位数字.

根据2020年10月19日 marpluto 的 post整理:

1、根据题意,有\[\begin{cases} x_0^{2019}-1=x_0>0\implies x_0>1,\\ y_0^{4038}-y_0=3x_0>0\implies y_0>1,\end{cases}\]而\[\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)=\big((x_0+1)^2-x_0\big)-3x_0=(x_0-1)^2>0,\]因此\[x_0^{4038}-x_0>y_0^{4038}-y_0.\] 记函数 $f(x)=x^{4038}-x$,则其导函数\[f'(x)=4038x^{4037}-1,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增,从而 $x_0>y_0$.

2、令 $g(x)=x^{2019}-x-1$($x>1$),则其导函数\[g'(x)=2019x^{2018}-1>0,\]于是 $g(x)$ 单调递增,而 $g(1)=-1$,结合\[g\left(\dfrac{2020}{2019}\right)=\left(1+\dfrac{1}{2019}\right)^{2019}-\dfrac{2020}{2019}-1>1+\dfrac{\binom{2019}1}{2019}+\dfrac{\binom{2019}2}{2019^2}-1-1-\dfrac{1}{2019}>0,\]可得 $ 1<x_0<\dfrac{2020}{2019} $,因此\[\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)=(x_0-1)^2<\dfrac{1}{2019^2} ,\]设 $h(x)=x^{4038}-4038x$($x>1$),则其导函数\[h'(x)=4038x^{4037}-4038>0,\]于是函数 $ h(x)$ 单调递增,从而\[x_0^{4038}-4038x_0>y_0^{4038}-4038y_0\implies x^{4038}-y_0^{4038}>4038(x_0-y_0),\]从而\[\dfrac1{2019^2}>\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)>4037(x_0-y_0),\]于是\[1<|x_0-y_0|<\dfrac1{4037\cdot2019^2}<\dfrac1{10^{10}},\]因此 $ |x_0-y_0| $ 小数点后面的第 $ 10 $ 位数字为 $ 0$.

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征解问题(2785029,已解决)》有5条回应

  1. marpluto marpluto说:

    原题题干为 $x^{2019}-x-1=0$. 不知这题是否有打印错误?下面是原题的解答.
    (1)根据题意,有 \[x_0^{2019}-1=x_0>0\implies x_0>1,\] 且 \[y_0^{4038}-y_0=3x_0>0\implies y_0>1,\] 于是 \[\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)=(x_0-1)^2>0,\] 因此 \[x_0^{4038}-x_0>y_0^{4038}-y_0.\]
    构造函数 $f(x)=x^{4038}-x$ ($x>1$), 则其导函数 \[f'(x)=4038x^{4037}-1>0,\] 于是函数 $f(x)$ 单调递增,从而 \[x_0>y_0.\]
    (2)令 $g(x)=x^{2019}-x-1$ ($x>1$), 则其导函数 \[g'(x)=2019x^{2018}-1>0,\] 于是 $g(x)$ 单调递增,结合 $g(1)=-11+2019\cdot\left(\dfrac{2020}{2019}-1\right)+\dfrac{2019\cdot2018}2\cdot\left(\dfrac{2020}{2019}-1\right)^2-\dfrac{2020}{2019}-1>0,\] 可得 $1<x_0<\dfrac{2020}{2019}$, 因此 \[\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)=(x_0-1)^21$), 则其导函数 \[h'(x)=4038x^{4037}-4038>0,\] 于是函数 $h(x)$ 单调递增,从而 \[\begin{split}\dfrac1{2019^2}&>\left(x_0^{4038}-x_0\right)-\left(y_0^{4038}-y_0\right)\\&>(4038x_0-4038y_0)-(x_0-y_0)\\&=4037(x_0-y_0),\end{split}\] 于是 \[1<|x_0-y_0|<\dfrac1{4037\cdot2019^2}<\dfrac1{10^{10}},\] 因此 $|x_0-y_0|$ 小数点后面的第 $10$ 位数字为 $0$.

  2. tzy说:

    此题为陈题,可以在《学数学》专辑中找到,不宜作为征解的题目。

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