每日一题[2097]角格点问题

在 $\triangle ABC$ 中,已知 $AB=AC$,$\angle BAP=20^\circ$,$\angle ABP=10^\circ$,$\angle PAC=60^\circ$,则 $\angle APC=$ _______.

答案    $100^\circ$.

解析    作 $\angle PAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,作 $P$ 关于 $AD$ 的对称点 $E$,则\[\angle PAD=\angle DAE=30^\circ,\]$\triangle APE$ 为正三角形,且 $E$ 在边 $AC$ 上.连接 $EB,EP,ED$,如图.

由于 $\angle APB=150^\circ$,$\angle APE=60^\circ$,于是 $\angle BPE=150^\circ$,从而 $\triangle BAP\cong\triangle BEP$,因此\[\angle AEB=\angle ADB=80^\circ,\]从而 $A,B,D,E$ 四点共圆.因此\[\angle ADP=\angle ADE=\angle ABE=20^\circ,\]且\[\angle DEC=\angle ABC=\angle ACD\implies DE=DC,\]于是 $DP=DE=DC$,进而可得\[\angle DPC=\angle DCP=30^\circ,\]从而 $\angle ACP=20^\circ$,$\angle APC=100^\circ$.

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