每日一题[2094]补形

在三棱锥 $S-ABC$ 中,$SA=BC=2$,$SC=AB=\sqrt 3$,$SB=AC=\sqrt 5$,$M$ 为 $BC$ 中点,$N$ 为 $SA$ 中点.

1、求异面直线 $AM$ 与 $CN$ 的距离.

2、求 $A-SM-C$ 二面角的余弦值.

解析

1、注意到三棱锥的 $S-ABC$ 的三组对棱相等,因此 $S-ABC$ 的外接平行六面体为长方体(该长方体的六条面对角线组成三棱锥 $S-ABC$),如图.

设长方体的三维分别为 $a,b,c$,且\[\begin{cases} a^2+b^2=SA^2,\\ b^2+c^2=SB^2,\\ c^2+a^2=SC^2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2+b^2=4,\\ b^2+c^2=5,\\ c^2+a^2=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=\sqrt 3,\\ c=\sqrt 2,\end{cases}\]因此以 $B$ 为坐标原点,长方体在 $B$ 处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系,则 $S(0,\sqrt 3,\sqrt 2)$,$A(1,0,\sqrt 2)$,$B(0,0,0)$,$C(1,\sqrt 3,0)$,进而\[M\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2,0\right),\quad N\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 2\right).\]于是\[\begin{cases} \overrightarrow{AM}=\left(-\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2,-\sqrt 2\right),\\ \overrightarrow{CN}=\left(-\dfrac 12,-\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 2\right),\end{cases}\]于是与它们均垂直的向量\[\overrightarrow n=\left(0,\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 3}2\right),\]而 $\overrightarrow{MN}=\left(0,0,\sqrt 2\right)$,因此所求距离\[d=\dfrac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow n\right|}{ \left|\overrightarrow n\right|}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 6}2}{\sqrt{2+\dfrac 34}}=\dfrac{\sqrt{66}}{11}.\]

2、根据题意,有\[\begin{cases} A(1,0,\sqrt 2),\\ S(0,\sqrt 3,\sqrt 2),\\ M\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2,0\right),\\ C(1,\sqrt 3,0)\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow {AS}=\left(-1,\sqrt 3,0\right),\\ \overrightarrow{SM}=\left(\dfrac 12,-\dfrac{\sqrt 3}2,-\sqrt 2\right),\\ \overrightarrow{MC}=\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2,0\right),\end{cases}\]进而有\[\begin{cases} \overrightarrow n_{ASM}=(-\sqrt 6,-\sqrt 2,0),\\ \overrightarrow n_{SMC}=\left(\sqrt{\dfrac 32},-\dfrac{1}{\sqrt 2},\dfrac{\sqrt 3}2\right),\end{cases}\]因此所求余弦值\[\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow n_{ASM}\cdot \overrightarrow n_{SMC}}{\left|\overrightarrow n_{ASM}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{SMC}\right|}=\dfrac{-2}{\dfrac{\sqrt{11}}2\cdot 2\sqrt 2}=-\dfrac{\sqrt{22}}{11}.\]

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