每日一题[2096]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x-\ln x$.

1、求函数在 $\left[1,\dfrac{\pi}3\right]$ 上的最大值.

2、证明:$f'(x)$ 有唯一零点.

3、若实数 $x_1,x_2$ 满足 $x_1\ne x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$,证明:$x_1x_2<4$.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-\dfrac 12\cos x-\dfrac 1x,\]该函数在 $\left[1,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递增,且 $f'(1)=-\dfrac12\cos1<0$,且\[f'\left(\dfrac{\pi}3\right)=1-\dfrac{3}{\pi}-\dfrac 14<0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left[1,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递减,其最大值为\[f(1)=1-\dfrac12\sin 1.\]

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,函数 $f'(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递增,且\[f'(1)=-\dfrac 12\cos 1<0,\quad f'(2)=\dfrac 12-\dfrac 12\cos 2>0,\]于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,2]$ 上有唯一零点. 当 $x>2$ 时,有\[f'(x)>1-\dfrac12\cos x-\dfrac 12=\dfrac{1-\cos x}2>0,\]于是 $f'(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上没有零点. 综上所述,$f'(x)$ 有唯一零点.

3、不妨设 $x_1>x_2>0$.根据题意,有\[x_1-\dfrac 12\sin x_1-\ln x_1=x_2-\dfrac 12\sin x_2-\ln x_2,\]即\[\dfrac 12\cdot \dfrac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}+\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=1.\]由于\[\dfrac12\cdot \dfrac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac 12\cos\dfrac{x_1+x_2}2\sin\dfrac{x_1-x_2}2}{\dfrac{x_1-x_2}2}<\dfrac 12\cos\dfrac{x_1+x_2}2\leqslant \dfrac 12,\]因此\[\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}> \dfrac 12\implies \dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<2,\]而根据对数平均不等式,有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2},\]这样就证明了 $x_1x_2<4$.

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