已知二次函数 $f(x)=ax^2+x+c$（$a,c\in\mathbb R$，$a\ne0$）在区间 $[1,2]$ 上有零点，则 $4a^2+c^2$ 的最小值为_______．
已知三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a<b$）在 $\mathbb R$ 上单调递增，则 $\dfrac{a+b+c}{b-a}$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 6+5}2$
B．$\dfrac{\sqrt 6+5}3$
C．$\dfrac{7+\sqrt 5}2$
D．$\dfrac{2\sqrt 7+5}3$
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=1$，$2S_n=a_n^2-2S_{n-1}+1$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、若数列 $\{b_n\}$ 满足条件 $b_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{(a_n+1)^2}+\dfrac{1}{(a_{n+1}+1)^2}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $M\leqslant \dfrac 2nT_n$，求整数 $M$ 的最大值．
已知无穷数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和． 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且对任意正整数 $n$ 都有 $S_{n^2}=\left(S_n\right)^2$ 成立，
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项．
2、若数列 $\{a_n\}$ 的各项互不相等，其前 $n$ 项构成集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，定义 $\overrightarrow a_n=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 且\[V=\left\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\mid b_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]设 $\overrightarrow b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 且 $\overrightarrow b\in V$，定义\[\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n,\]在此基础上，定义 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 的扩充集\[\Gamma_n=\left\{x\mid x=\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b,\overrightarrow b\in V,x\in\mathbb N^{\ast}\right\},\]且对于任意 $\overrightarrow m,\overrightarrow n\in V$ 且 $\overrightarrow m\ne \overrightarrow n$，只要 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m,\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n\in \mathbb N^{\ast}$，就有 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m\ne \overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n$，且 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=0$ 等价于 $\overrightarrow b=(0,0,\cdots,0)$．若 $\Gamma_n=\{1,2,\cdots,S_n\}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
已知函数 $f(x)=(\cos\theta+1)\cos 2x+\cos\theta(\cos x+1)$，则（ ）
A．$f(x)$ 是偶函数
B．$f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减
C．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f(x)|<\dfrac 75$
D．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f'(x)|<\dfrac{14}5$
已知函数 $f(x)=ax^3-(3a-2)x^2-8x+12a+7$，$g(x)=\ln x$，记 $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，若 $h(x)$ 至少有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\infty,-\dfrac{1}{10}\right)$
B．$\left(\dfrac 18,+\infty\right)$
C．$\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$
D．$\left[-\dfrac1{1},\dfrac 18\right]$
设 $a,b,c$ 是三角形 $ABC$ 的三边长，且 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+4abc$ 的取值范围是_______．
已知点 $A$ 在双曲线 $xy=1$ 上，且 $A$ 位于第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 为正三角形，且线段 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$，若 $BC=2CA$，则等边三角形 $AOB$ 的面积为_______．
设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为单位向量，向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|2\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|$，则 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$1$
C．$\sqrt 3$
D．$\sqrt 2$
直线 $l$ 交 $y^2=4x$ 于 $A,B$ 两点，若四边形 $OAMB$（$O$ 为坐标原点）是矩形，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为（ ）
A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac{\sqrt 2}4$
C．$\dfrac 12$
D．$\dfrac{\sqrt 2}2$
