每日一题[2095]双切线

点 $P(x_0,y_0)$($x_0>0$,$y_0>2)$ 是抛物线 $x^2=2y$ 上的点,过点 $P$ 作圆 $E:x^2+(y-1)^2=1$ 的两条切线分别交 $x$ 轴于 $B,C$ 两点,切点分别为 $M,N$,则 $\triangle PBC$ 的面积的最小值为(       )

A.$4$

B.$16$

C.$12$

D.$8$

答案    D.

解析    设 $P(2t,2t^2)$($t>1$),则双切线 $PM\cup PN$ 的方程为\[\big((2t)^2+(2t^2-1)^2-1\big)\cdot\big(x^2+(y-1)^2-1\big)-\big(2t\cdot x+(2t^2-1)(y-1)-1\big)^2=0,\]设 $B,C$ 的横坐标为 $x_1,x_2$,则 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程\[\big((2t)^2+(2t^2-1)^2-1\big)\cdot\big(x^2+(0-1)^2-1\big)-\big(2t\cdot x+(2t^2-1)(0-1)-1\big)^2=0\]即\[4t^2\big((t+1)x-t\big)\big((t-1)x+t\big)=0\]的两根,于是 $\triangle PBC$ 的面积\[[PBC]=\dfrac 12\cdot \left|\dfrac{t}{t+1}-\dfrac{t}{1-t}\right|\cdot 2t^2=\dfrac{2t^4}{t^2-1}=\dfrac{2}{\dfrac 14-\left(\dfrac 12-\dfrac 1{t^2}\right)^2}\geqslant 8,\]等号当 $t=\sqrt 2$ 时取得,因此所求最小值为 $8$.

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