征解问题(2602355,已解决)

三边长分别为 $a,b,c$ 的三角形的内切圆半径为 $r$,外接圆半径为 $R$.求证:\[\dfrac{R}r-\dfrac ab-\dfrac ba\geqslant 8\cdot \dfrac{(a-c)^2(b-c)^2}{a^2b^2}.\]

出题人 星光给出的解析.

利用三角形的内切圆代换,设 $a=y+z$,$b=z+x$,$c=x+y$,其中 $x,y,z>0$,则\[\begin{split} \dfrac Rr-\dfrac ab-\dfrac ba&=\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4xyz}-\dfrac{y+z}{z+x}-\dfrac{z+x}{y+z}-8\cdot \dfrac{(x-z)^2(y-z)^2}{(x+z)^2+(y+z)^2}\\ &=\dfrac{\big((x+y)(xy-zx-yz+7z^2)-10xyz-2z^3\big)^2}{4z(x+y)(x+z)^2(y+z)^2}+\dfrac{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}{4xy(x+z)^2(y+z)^2}+\dfrac{z(x-y)^2\big(4(2xy-xz-yz)^2+(3xy-xz-yz)^2+z^2(10xy+2xz+2yz+z^2)\big)}{4xy(x+y)(x+z)^2(y+z)^2}\geqslant 0,\end{split}\]等号当 $x=y=z$ 即 $a=b=c$ 时取得,因此原不等式得证.

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征解问题(2602355,已解决)》有1条回应

  1. louxin2020说:

    好复杂的计算

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