征解问题(2682538,已解决)

设 $a,b,c,d>0$,求\[f(a,b,c,d)=\dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3+ab+cd+16}{(a+b)(c+d)}\]的最小值.

2020年10月22日上午11点06分,louxin2020提供解法.

考虑到\[a^3+b^3+ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab=(a+b)^3+(1-3(a+b))ab,\]于是按 $a+b,c+d$ 与 $\dfrac 13$ 的大小讨论.

情形一    $a+b,c+d\geqslant \dfrac 13$.此时有\[a^3+b^3+ab\geqslant (a+b)^3-(1-3(a+b))\cdot \dfrac{(a+b)^2}4=\dfrac 14(a+b)^3+\dfrac14(a+b)^2,\]因此\[\begin{split} f(a,b,c,d)&\geqslant \dfrac{(a+b)^3+(c+d)^3+4^3+(a+b)^2+(c+d)^2}{4(a+b)(c+d)}\\ &\geqslant \dfrac{3\cdot 4(a+b)(c+d)+2(a+b)(c+d)}{4(a+b)(c+d)}\\ &=\dfrac 72,\end{split}\]等号当 $a=b=c=d=4$ 时取得.

情形二     $a+b<\dfrac 13$ 或 $c+d<\dfrac 13$.不妨设 $a+b<\dfrac 13$,则\[\begin{split} f(a,b,c,d)&>\dfrac{c^3+d^3+16}{(a+b)(c+d)}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{c^3+d^3+16}{c+d}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{\dfrac 14(c+d)^3+16}{c+d}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{(c+d)^3+32+32}{4(c+d)}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{3\cdot \sqrt[3]{32^2}}4=18\sqrt[3]2>\dfrac 72. \end{split}\]

综上所述,所求代数式的最小值为 $\dfrac 72$,当 $a=b=c=d=4$ 时取得.

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