设正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，对任意正整数 $n$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^3}$．数列 $\{b_n\}$ 满足对任意正整数 $n$，$b_n=a_n\cdot a_{n+1}$．记数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．
1、若对任意正整数 $n$ 均有 $\dfrac{S_n}{n}\geqslant\lambda$，求实数 $\lambda$ 的最大值．
2、若 $a=1$，记数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：对任意正整数 $n$，$S_n-T_n\leqslant \sqrt n$．
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)$，$c=5$，且 $\triangle ABC$ 的外心、重心分别为 $O,G$，则 $OG$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2-1$
B．$\dfrac{5\sqrt 2-5}6$
C．$\sqrt 2+1$
D．$\dfrac{10-5\sqrt 2}6$
已知函数 $f(x)=x\ln x$．
1、若函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}-\dfrac 1x$，求 $g(x)$ 的极值．
2、证明：$f(x)+1<{\rm e}^x-x^2$．
已知双曲线 $C_1:x^2-y^2=1$，曲线 $C_2:\dfrac xy+\dfrac yx=x^2-y^2$，则曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数是[[nn]]，原点 $O$ 与曲线 $C_2$ 上的点之间的距离的最小值为_______．
已知函数 $f(x)=a\tan x-{\rm e}^x-2a$（$a\in \mathbb R$）．
1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的图象在 $x=0$ 处的切线方程．
2、求证：${\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}< \dfrac{2\sqrt 3}3+1$．
对于正整数 $n$ 与实数 $a_0,a_1,\cdots,a_n$，记\[f_n(x)=\sin (x+a_0)+\dfrac{\sin (x+a_1)}{2}+\cdots+\dfrac{\sin (x+a_n)}{2^n}.\]
1、若 $a_0=0$，$a_1=\dfrac{\pi}3$，求 $f_1(x)$ 的取值范围．
2、当 $n=2020$ 时，判断是否存在实数 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 使得 $f_{2020}(1)=f_{2020}(2)=0$ 成立．若存在，请求出任意一组 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 的值；若不存在，请说明理由．
已知正实数 $x,y,z>0$，则 $A=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2x\right\}$ 的最小值为[[nn]]；$B=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2z\right\}+\max\left\{z,\dfrac 3x\right\}$ 的最小值为_______．
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 构成公差为 $d$ 的等差数列，设 $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_6)$，若 $f(1)=f(2)=f(3)\ne 0$，则 $d$ 的最小值为_______．
一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 $1$ 站、第 $2$ 站、第 $3$ 站、$\cdots$、第 $100$ 站，共 $100$ 站，设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_n$，一枚棋子开始在第 $1$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面朝上，棋子向前跳一站，若硬币的反面朝上，棋子向前跳两站，知道棋子跳到第 $99$ 站（失败）或第 $100$ 站（获胜）时，游戏结束．
1、求 $P_1,P_2,P_3$．
2、求证：数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$（$n=1,2\cdots,98$）是等比数列．
3、求玩该游戏获胜的概率．
已知抛物线 $C:x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,1)$，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 关于直线 $l:y=2x+2$ 对称的点 $B$ 恰好在射线 $y=11$（$x\leqslant 3$）上，则直线 $AF$ 被 $C$ 截得的弦长为（ ）
A．$\dfrac{91}9$
B．$\dfrac{100}9$
C．$\dfrac{118}9$
D．$\dfrac{127}9$
