每日一题[1945]适当配对

已知正实数 $x,y,z>0$,则 $A=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2x\right\}$ 的最小值为[[nn]];$B=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2z\right\}+\max\left\{z,\dfrac 3x\right\}$ 的最小值为_______.

答案    $2\sqrt 2$$2\sqrt 5$.

解析    考虑到\[A=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2x\right\}\geqslant x+\dfrac 2x\geqslant 2\sqrt 2,\]等号当 $x=y=\sqrt 2$ 时可以取得,因此所求最小值为 $2\sqrt 2$. 又\[\begin{split} B&=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2z\right\}+\max\left\{z,\dfrac 3x\right\}\\ &\geqslant x+\dfrac 2z+\max \left\{z,\dfrac 3x\right\}\\ &\geqslant x+\dfrac 2z+\lambda z+(1-\lambda)\cdot \dfrac 3x\\ &\geqslant 2\sqrt{3(1-\lambda)}+2\sqrt{2\lambda},\end{split}\] 等号当\[\begin{cases} \dfrac 1x\leqslant y\leqslant \dfrac 2z,\\ z=\dfrac 3x,\\ x=\sqrt{3(1-\lambda)},\\ z=\sqrt{\dfrac 2{\lambda}},\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac {\sqrt 5}3\leqslant y\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 5},\\ \lambda=\dfrac 23,\\ x=\dfrac{3}{\sqrt 5},\\ z=\sqrt 5,\end{cases}\]时取得,因此所求最小值为 $2\sqrt 5$.

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