每日一题[1943]简版飞行棋

一种掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第 $1$ 站、第 $2$ 站、第 $3$ 站、$\cdots$、第 $100$ 站,共 $100$ 站,设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_n$,一枚棋子开始在第 $1$ 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币的正面朝上,棋子向前跳一站,若硬币的反面朝上,棋子向前跳两站,知道棋子跳到第 $99$ 站(失败)或第 $100$ 站(获胜)时,游戏结束.

1、求 $P_1,P_2,P_3$.

2、求证:数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$($n=1,2\cdots,98$)是等比数列.

3、求玩该游戏获胜的概率.

解析

1、根据题意,$P_1=1$,$P_2=\dfrac 12$,且棋子到达第 $n+2$($n\leqslant 97$)站有两种可能:从第 $n+1$ 站通过掷出正面到达,以及从第 $n$ 站通过掷出反面到达,因此\[P_{n+2}=P_{n+1}\cdot \dfrac 12+P_n\cdot \dfrac12,\]于是 $P_3=\dfrac 34$.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,当 $n\leqslant 97$ 时,有\[P_{n+2}-P_{n+1}=-\dfrac 12\left(P_{n+1}-P_n\right),\]因此数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$($n=1,2\cdots,98$)是公比为 $-\dfrac12$ 的等比数列.

3、根据第 $(2)$ 小题的结果,当 $n\leqslant 98$ 时,有\[P_{n+1}-P_n=\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\left(P_2-P_1\right)=\left(-\dfrac 12\right)^n,\]于是当 $n\leqslant 99$ 时,有\[P_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\dfrac 12\right)^k+P_1=\dfrac 23\left(1-\left(-\dfrac 12\right)^n\right),\]因此 $P_{99}=\dfrac 23\left(1+\dfrac{1}{2^{99}}\right)$,从而 $P_{100}=1-P_{99}=\dfrac 13\left(1-\dfrac{1}{2^{98}}\right)$.

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每日一题[1943]简版飞行棋》有2条回应

  1. Math_fish说:

    我觉得把题目里”跳到第几站的概率”改成“能跳到第几站的概率”比较好

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