每日一题[1942]对称点计算

已知抛物线 $C:x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,1)$,若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 关于直线 $l:y=2x+2$ 对称的点 $B$ 恰好在射线 $y=11$($x\leqslant 3$)上,则直线 $AF$ 被 $C$ 截得的弦长为(       )

A.$\dfrac{91}9$

B.$\dfrac{100}9$

C.$\dfrac{118}9$

D.$\dfrac{127}9$

答案    B.

解析    设 $A(4a,4a^2)$,直线 $AB$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=4a+2t,\\ y=4a^2-t,\end{cases}$,$AB$ 中点 $M$ 对应的参数为 $t_0$,则点 $B$ 对应的参数为 $2t_0$,有\[4a^2-t_0=8a+4t_0+2\implies 2t_0=\dfrac{8a^2-16a+4}5,\]于是 $B\left(\dfrac{8a^2-8a-4}5,\dfrac{12a^2+16a+4}5\right)$,根据题意,有\[\begin{cases} \dfrac{8a^2-8a-4}5\leqslant 3,\\ \dfrac{12a^2+16a+4}5=11,\end{cases}\implies a=\dfrac 32,\]从而 $A(6,9)$.根据抛物线的几何平均性质,直线 $AF$ 与抛物线的另一个交点 $E$ 的坐标为 $E\left(-\dfrac 23,\dfrac 19\right)$,因此所求弦长 $|AE|=\dfrac{100}9$.

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