每日一题[1946]正交分量

对于正整数 $n$ 与实数 $a_0,a_1,\cdots,a_n$,记\[f_n(x)=\sin (x+a_0)+\dfrac{\sin (x+a_1)}{2}+\cdots+\dfrac{\sin (x+a_n)}{2^n}.\]

1、若 $a_0=0$,$a_1=\dfrac{\pi}3$,求 $f_1(x)$ 的取值范围.

2、当 $n=2020$ 时,判断是否存在实数 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 使得 $f_{2020}(1)=f_{2020}(2)=0$ 成立.若存在,请求出任意一组 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 的值;若不存在,请说明理由.

解析

1、根据题意,有 $f_1(x)=\sin x+\dfrac 12\sin\left(x+\dfrac{\pi}3\right)$,也即\[f_1(x)=\dfrac 54\sin x+\dfrac{\sqrt 3}4\cos x,\]其取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 7}2,\dfrac{\sqrt 7}2\right]$.

2、根据题意,有\[f_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{\sin (x+a_k)}{2^k}=\sin x\cdot \sum_{k=0}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}+\cos x\cdot \sum_{k=0}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k},\]设 $C= \sum_{k=0}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}$,$S=\sum_{k=0}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}$,则当 $C,S$ 不同时为 $0$ 时,有\[f_n(x)=\sqrt{C^2+S^2}\cdot \sin (x+\varphi),\]其中 $\varphi$ 的终边过点 $(C,S)$.此时 $f_n(x)$ 的零点等距排列,间隔为 $\pi$,与题意不符. 当 $C,S$ 同时为 $0$,则\[\begin{cases} -\cos a_0=\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k},\\ -\sin a_0=\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k},\end{cases}\implies \left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2=1,\]由柯西不等式,有\[\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\cos^2a_k}{2^k}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k}}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\cos^2a_k}{2^k},\]类似的,有\[\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin^2a_k}{2^k}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k}}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin^2a_k}{2^k},\]两式相加,有\[\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^k}<1,\]因此不存在符合题意的 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$.

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