在空间中，过点 $A$ 作平面 $\pi$ 的垂线，垂足为 $B$，记 $B=f_{\pi}(A)$，设 $\alpha,\beta$ 是两个不同的平面，对空间任意一点 $P$，$Q_1=f_{\beta}\big(f_{\alpha}(P)\big)$，$Q_2=f_{\alpha}\big(f_{\beta}(P)\big)$，恒有 $PQ_1=PQ_2$，则（ ）
A．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直
B．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $45^\circ$
C．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行
D．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $60^\circ$
对前 $n$ 个正整数用 $k$ 种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设 $k$ 的最大值为 $f(n)$，求证：\[{\log_3}n\leqslant f(n)\leqslant {\log_2}n+1.\]
随机投掷三颗骰子，则下列说法正确的是（ ）
A．有两颗骰子之和为 $7$ 的概率是 $\dfrac7{12}$
B．有两颗骰子之和为 $8$ 的概率是 $\dfrac{19}{54}$
C．所有骰子中最小值为 $2$ 的概率是 $\dfrac{65}{216}$
D．所有骰子中最小值为 $3$ 的概率是 $\dfrac{41}{216}$
已知一圆锥曲面顶点 $S$，其母线与轴所成的角为 $30^\circ$，在轴线上取一点 $C$，使得 $SC=5$，通过点 $C$ 作一与轴线夹角为 $45^\circ$ 的截面，则截得的曲线方程可表示为（ ）
A．$x^2+2y^2=25$
B．$x^2+3y^2=50$
C．$2x^2+5y^2=50$
D．$2x^2+6y^2=75$
已知 $x,y,z$ 是非负实数，且 $x+y+z=2$，则 $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz$ 的最大值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$\dfrac 54$
D．以上答案都不对
设实数 $a,b,c$ 满足 $a,b,c\geqslant 1$ 且 $ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$，则 $a,b,c$ 之间的大小关系是（ ）
A．$a>b>c$
B．$a=b=c$
C．$a<b<c$
D．不能比较大小
观察下列等式：
① $ \cos 2{\alpha} =2 \cos ^2 {\alpha} -1 $；
② $ \cos 4{\alpha} =8 \cos ^4 {\alpha} -8 \cos ^2 {\alpha} +1 $；
③ $ \cos 6{\alpha} =32 \cos ^6 {\alpha} -48 \cos ^4 {\alpha} +18 \cos ^2 {\alpha} -1 $；
④ $ \cos 8{\alpha} = 128 \cos ^8{\alpha} -256\cos ^6 {\alpha} +160 \cos ^4 {\alpha} -32 \cos ^2 {\alpha} +1 $；
⑤ $ \cos 10{\alpha} =m\cos ^{10}{\alpha} -1280 \cos ^8{\alpha} +1120\cos ^6 {\alpha} +n\cos ^4 {\alpha} +p \cos ^2 {\alpha} -1 $．
可以推测，$ m-n+p= $_______．
在一次竞赛中出 $A,B,C$ 三道题．
① 在所有参赛学生中共有 $30$ 人至少解出一道题；
② 仅对一题的学生中，解出 $C$ 题的人数占一半；
③ 解出 $A$ 题的学生人数等于仅解出 $B$ 题的学生人数；
④ 仅做对 $AB$ 的人数等于仅做对 $BC$ 的人数；
⑤ 仅做对 $A$ 的人数等于 $4$；
⑥ 同时仅做对 $AC$ 的人数是同时仅做对 $AB$ 人数的一半． 则同时解出 $ABC$ 的学生人数为_______．
已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，任取 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$，$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，$a_i+a_j\in A$，$a_j+a_k\in A$，$a_i+a_k\in A$ 中至少有一个成立，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$3$
B．$5$
C．$7$
D．$9$
