已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．
已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $(m,n)=1$，求证：\[(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1,x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)=1.\]
设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，且 $|AF_2|=|AB|$，$\overrightarrow{F_1B}=\lambda \overrightarrow{AF_1}$，则 $\lambda$ 的值可能为（ ）
A．$\dfrac 12$
B．$1$
C．$2$
D．$3$
已知 $f(x)=x\ln x-x+\dfrac ax$，其中 $a$ 为实数．
1、讨论 $f(x)$ 的极值点的个数．
2、当 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，求证：\[\dfrac n{2n+4}<\ln ^22+\ln^2\dfrac32+\cdots+\ln^2\dfrac{n+1}n<\dfrac n{n+1}.\]
已知函数 $f(x)=\dfrac 12ax^2-ax+\ln x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若 $a<0$，判断 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，当 $a<{\rm e}^2$ 时，求证：\[f(x_1)-f(x_2)<\dfrac 12{\rm e}^2-2.\]
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．
解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]
已知函数 $f(x)=\ln x-a\sqrt x$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、存在正实数 $k$ 使得函数 $g(x)=kx-1+f(x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_4=16$，且\[\dfrac1{a_{n+1}^2}<\dfrac1{a_n}+\dfrac1{a_{n+1}}-\dfrac2{n(n+1)}<\dfrac1{a_n^2},\]求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left|3\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|$，则 $-3\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2+\left|\overrightarrow c\right|^2$ 的最小值是[[nn]]；此时 $\left|\overrightarrow c\right|=$_______．
