已知 $a,b$ 为正数，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$(a+b)^n-a^n-b^n\geqslant 2^{2n}-2^{n+1}$．
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每日一题[2290]等角六边形
考虑等角六边形 $ABCDEF$，求证：\[AC^2+CE^2+EA^2=BD^2+DF^2+FB^2.\]
每日一题[2289]展开
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$(2 n+1)^{n} \geqslant(2 n)^{n}+(2 n-1)^{n}$．
每日一题[2288]展开与分解
在 $\triangle A B C$ 中，满足 $a \cdot\cos B+b \cdot\cos C+c\cdot \cos A=b \cdot \cos A+c \cdot \cos B+a \cdot \cos C$，判断 $\triangle A B C$ 的形状．
每日一题[2287]捕捉整数
已知 $n\in\mathbb Z$，函数 $f(x)=x^{2}+x+\dfrac{1}{2}$ 的定义域是 $[n, n+1]$，问 $f(x)$ 的值域中有多少个整数？
每日一题[2286]缩骨功
若函数 $f(x)=-\dfrac12x^2+\dfrac{13}2$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求区间 $[a,b]$．
每日一题[2285]分拆
$\dfrac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\dfrac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots+\dfrac{n+3}{n(n+1)(n+2)}=$ [[nn]].
每日一题[2284]裂项
求和：$\dfrac{3}{1 !+2 !+3 !}+\dfrac{4}{2 !+3 !+4 !}+\cdots+\dfrac{n+2}{n !+(n+1) !+(n+2) !}$
每日一题[2283]配对
$A=\left[\dfrac 89\right]+\left[\dfrac {8^2}9\right]+\left[\dfrac {8^3}9\right]+\cdots +\left[\dfrac {8^{2014}}9\right]$ 被 $63$ 除的余数为 [[nn]]．（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．） 继续阅读
每日一题[2282]分组求和
设 $m\in\mathbb N^{*}$，$\log_{2}m$ 的整数部分用 $F(m)$ 表示，则 $F(1)+F(2)+\cdots+F(1024)$ 的值是_______．