已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足关系式 $n\left(a_{n+1}-a_{n}+1\right)=a_{n+1}+a_{n}+1$，$S_{n}$ 表示数列的前 $n$ 项和．下列说法正确的有（ ）
A．若 $a_{2020}$ 是整数，则 $a_{3}$ 一定是整数
B．若 $a_{3}$ 是整数，则 $a_{2020}$ 一定是整数
C．若 $a_{2}=2$，则 $S_{n}=\dfrac{n(n-1)(n+4)}{6}$（$n \in \mathbb{N}^{+}$）
D．若 $\forall n \geqslant 2021$，都有 $a_{n}>0$，则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$
正 $2020$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2020}$ 内接于单位圆 $O$，任取它的两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$，下列选项中正确的有（ ）
A．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$
B．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$
C．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$
D．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$
国际数学奥林匹克竞赛（$IMO$）历史悠久，其考试一般分两天举行，每天考三道题．题目的类型共有四种，分别为代数、几何、组合、数论，且题目类型分布满足下列规则：
① 每个类型的题目至少出现一次；
② 每天的三道题类型各不相同；
③ 第 $3$ 题和第 $6$ 题中，至少有一道组合题． 下列说法正确的有（ ）
A．共有 $216$ 种不同的题目排布方案
B．共有 $192$ 种不同的题目排布方案
C．如果 $IMO$ 组委会想出 $2$ 道组合题，则共有 $120$ 种不同的题目排布方案
D．如果 $IMO$ 组委会想出 $2 $ 道组合题，则共有 $144$ 种不同的题目排布方案
实数 $a, b$ 满足二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$，$g(x)=x^{2}+b x+a$ 都有两个不同实根，并且它们的积 $f(x) \cdot g(x)$ 恰有三个不同实根，则下列说法正确的有（ ）
A．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和与 $a, b$ 相关
B．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和等于 $\dfrac{1}{2}$
C．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数）与 $a, b$ 相关
D．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数 $)$ 等于 $\dfrac{1}{2}$
若一个正整数 $n$ 可以写作构成等差数列的 $p$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$p-$ 可差数"；若一个正整数 $n$ 可以写作构成等比数列的 $q$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$q$ 可比数”．下列说法正确的有（ ）
A．$2020$ 是 $101-$ 可差数
B．$2019$ 是 $3 -$ 可比数
C．存在 $p_{1}>5$，使得 $ 2019$ 是 $p_{1}-$ 可差数
D．不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数
设 $f$ 是 $\mathbb R^+\to \mathbb R^+$ 的函数，对任意的正实数 $x$，$f(3x)=3f(x)$，且当 $x\in (1,3]$ 时，$f(x)=1-|x-2|$，设 $a$ 是最小实数 $x$ 使得 $f(x)=2020$，$b$ 是 $(1,a)$ 之间使得 $f(x)=3$ 的实数 $x$ 的个数，则下列选项正确的有（ ）
A．$a=4207$
B．$a=4205$
C．$b=12$
D．$b=10$
某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：数学有 $21$ 人获得优秀，物理 $19$ 人，化学 $20$ 人，数学物理都优秀 $9$ 人，物理化学都优秀 $7$ 人，化学数学都优秀 $8$ 人．另外，这个班有 $5$ 人任何一科都不优秀，则下列选项中正确的有
A．仅有物理一科优秀的最少有 $4$ 人
B．仅有数学一科优秀的最多有 $11$ 人
C．仅有化学一科优秀的最少有 $5$ 人
D．这个班可能有 $40$ 个人
已知复数 $z$ 满足 ${\rm Re}(z^2)=8$，则下列式子中可能成立的有（ ）
A．$\arg z=\dfrac{\pi}3$
B．$|z|=5$
C．$|z-4|=1$
D．$|z-1|=2$
已知实数 $a,b,c,d,e$，满足\[\begin{cases} a+b+c+d+e=8,\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,\end{cases}\]则 $e$ 的取值范围是（ ）
A．$[-2,2]$
B．$[0,1]$
C．$[0,2)$
D．以上答案都不对
设 $S=\{1,2,3,\cdots,2020\}$，如果 $S$ 中任意两个两两互质的数组成的集合中至少有一个质数，集合元素的个数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$15$
B．$16$
C．$17$
D．$18$
