设 $a_i>0$，且 $a_1a_2\cdots a_n=1$，求 $k_n$ 的最小值，使得恒有\[\dfrac{a_1a_2}{(a_1^2+a_2)(a_1+a_2^2)}+\dfrac{a_2a_3}{(a_2^2+a_3)(a_2+a_3^2)}+\cdots+\dfrac{a_na_1}{(a_n^2+a_1)(a_n+a_1^2)}\leqslant k_n.\]
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题拍拍征解问题[26]
已知 $n\geqslant 2$ 是正整数，圆周上有 $3n$ 个点，现有甲、乙两人对其进行 $n$ 次操作，每次操作为：首先，甲选择不相连的亮点，用线段连接这两个点；随后乙选择一个未被标记的点，将其标记．证明：无论乙怎么做，甲总能使最终连出的 $n$ 条线段中，恰有一个端点被标记的线段有至少 $\dfrac{n-1}6$ 条．
每日一题[2308]花落谁家
在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 为正三角形，设二面角 $S-AB-C$，$S-BC-A$，$S-CA-B$ 的平面角的大小分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，且 $\alpha,\beta,\gamma\neq\dfrac{\pi}{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值可能是负数
B．$\alpha+\beta+\gamma<\dfrac{3\pi}{2}$
C．$\alpha+\beta+\gamma>\pi$
D．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值恒为正数
题拍拍征解问题[25]（已解决）
已知 $xy+yz+zx=-1$，求证：$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geqslant 1-\sqrt 3$．
2021年7月1日，by xixiggg：
记 $s=x+y+z$，则\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=s^2+2,\]于是，\[x^2+y^2+z^2+x+y+z=s^2+s+2=\left(s+\dfrac 1 2\right)^2+\dfrac 7 4\geqslant \dfrac 7 4\geqslant 1-\sqrt{3},\]命题得证．
每日一题[2307]分离变量
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2$（$a$ 为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，则 $a$ 的范围为 $\left(\dfrac{{\rm e}^2}4,+\infty\right)$
B．$a=\dfrac{\rm e}2$ 时，$x=1$ 是 $f(x)$ 的极值点
C．$a=\dfrac12$ 时，$f(x)$ 的零点 $x_0$ 满足 $-1<x_0<-\dfrac12$
D．$a=1$ 时，$f(x)\geqslant0$ 恒成立
每日一题[2306]隐含条件
等腰三角形的周长为 $a$，一腰的中线将周长分成 $5:3$，则三角形的底边长为（ ）
A．$\dfrac{1}{6}a$
B．$\dfrac{3}{5} a$
C．$\dfrac{1}{6}a$ 或 $\dfrac{3}{5} a$
D．$\dfrac{4}{5} a$
每日一题[2305]韦达定理
已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=9$，$ab+bc+ca=24$，则 $c$ 的取值范围为_______．
每日一题[2303]消元求解
求方程组 $\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3,\end{cases}$ 的所有整数解．
每日一题[2302]引入参数
设 $E=\{1,2,3,\cdots,200\}$，$G=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{100}\}\subsetneq E$，且 $G$ 具有下列两条性质：
① 对任何 $1\leqslant i\leqslant j\leqslant 100$，恒有 $a_i+a_j\ne 201$；
② $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i=10080$．
试证：$G$ 中的奇数的个数是 $4$ 的倍数，且 $G$ 中所有数的平方和是一个定数．