每日一题[2137]正难则反

正六棱柱的 $12$ 个顶点的任意 $2$ 个顶点所在直线中,异面直线的对数为(       )

A.$1125$

B.$1278$

C.$1350$

D.$1542$

答案    B.

解析    $12$ 个顶点构成的 $4$ 点组有 $\dbinom{12}4=495$ 个,其中共面的 $4$ 点组可以按在上下底面的个数分类讨论.

情形一    全部在上底面或全部在下底面.共面 $4$ 点组数为\[2\dbinom{6}4=30.\]

情形二    两个底面各 $2$ 个.共面 $4$ 点组数按在上底面的 $2$ 个点间的位置关系分类(此时上下底面的点分别连线,则连线平行),为\[6\cdot 3+6\cdot 2+3\cdot 3=39.\]

因此共面的 $4$ 点组共有 $69$ 个,进而不共面的 $4$ 点组有 $426$ 个,每个不共面的 $4$ 点组贡献 $3$ 对异面直线,且不同的 $4$ 点组贡献的异面直线不同,因此所求异面直线的对数为 $426\cdot 3=1278$.

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