每日一题[2133]截面形状

已知一圆锥曲面顶点 $S$,其母线与轴所成的角为 $30^\circ$,在轴线上取一点 $C$,使得 $SC=5$,通过点 $C$ 作一与轴线夹角为 $45^\circ$ 的截面,则截得的曲线方程可表示为(       )

A.$x^2+2y^2=25$

B.$x^2+3y^2=50$

C.$2x^2+5y^2=50$

D.$2x^2+6y^2=75$

答案    D.

解析    根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则,截得的曲线为椭圆,离心率\[e=\dfrac{\cos45^\circ}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt 6}3,\]且根据正弦定理,可得椭圆的长轴长\[2a=SC\cdot \sin30^\circ\cdot \left(\dfrac{1}{\sin 75^\circ}+\dfrac{1}{\sin15^\circ}\right)=5\sqrt 6,\]因此椭圆的半焦距 $c=5$,进而所求曲线方程为\[\dfrac{x^2}{\frac{75}2}+\dfrac{y^2}{\frac{25}2}=1\iff 2x^2+6y^2=75.\]

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