已知点 $A$ 在双曲线 $xy=1$ 上，且 $A$ 位于第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 为正三角形，且线段 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$，若 $BC=2CA$，则等边三角形 $AOB$ 的面积为_______．
设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为单位向量，向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|2\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|$，则 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$1$
C．$\sqrt 3$
D．$\sqrt 2$
直线 $l$ 交 $y^2=4x$ 于 $A,B$ 两点，若四边形 $OAMB$（$O$ 为坐标原点）是矩形，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为（ ）
A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac{\sqrt 2}4$
C．$\dfrac 12$
D．$\dfrac{\sqrt 2}2$
设直线 $x-3y+m=0$（$m\ne 0$）与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a,b > 0$）的两条渐近线分别交于点 $A,B$，若点 $P\left({m,0}\right)$ 满足 $\left|{PA}\right| = \left|{PB}\right|$，则该双曲线的离心率是______．
设 $a, b, c \in \mathbb{R}_{+}$．证明：$a+\sqrt{a b}+\sqrt[3]{a b c} \leqslant \dfrac{4}{3}(a+b+c)$．
$\forall x_1\in\mathbb R$，$\exists x_2\in [3,4]$，$x_1^2+x_1x_2+x_2^2\geqslant 2x_1+mx_2+3$，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
设 $m$ 为正整数，各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 定义如下：$a_1=1$， \[ a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{a_n}{2},&2\mid a_n,\\ a_n+m,&2\nmid a_n. \end{cases} \]
1、若 $m=5$，写出 $a_8,a_9,a_{10}$．
2、求证：“数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增”的充要条件是“$m$ 为偶数”．
3、若 $m$ 为奇数，是否存在 $n>1$ 满足 $a_n=1$？请说明理由．
用 $6$ 种不同颜色给如图所示的 $6$ 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方案的种数是_______．
已知圆 $O:x^2+y^2=4$，直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $P,Q$ 两点，$A(2,2)$，若 $AP^2+AQ^2=40$，则弦 $PQ$ 的长度的最大值为______．
