每日一题[1929]环环相扣

$\forall x_1\in\mathbb R$,$\exists x_2\in [3,4]$,$x_1^2+x_1x_2+x_2^2\geqslant 2x_1+mx_2+3$,则实数 $m$ 的取值范围是_______.

答案    $(-\infty,3]$.

该命题即\[\forall x_1\in\mathbb R,\exists x_2\in [3,4],x_2^2+(x_1-m)x_2+(x_1^2-2x_1-3)\geqslant 0,\]设函数 $f(x)=x^2+(x_1-m)x+(x_1^2-2x_1-3)$,则 $f(x)$ 是开口向上的抛物线,其在 $[3,4]$ 上的最大值在区间端点处取得,因此该命题即\[\forall x_1\in\mathbb R,f(3)\geqslant 0\lor f(4)\geqslant 0,\]也即\[\forall x_1\in\mathbb R,x_1^2+x_1+6-3m\geqslant 0\lor x_1^2+2x_1+13-4m\geqslant 0,\]该命题等价于\[\forall x\in\mathbb R,m\leqslant \max\left\{\dfrac{x^2+x+6}3,\dfrac{x^2+2x+13}4\right\},\]也即 $m\leqslant 3$.

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